Tiếp tuyến của đường tròn, 3 đường Conic

1. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Dạng 1. Đường tròn \((C)\): \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Thì phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M({x_0},{y_0}) \in (C)\) là: 

\(({x_0} - a)(x - a) + ({y_0} - b)(y - b) = {R^2}\)

Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((C)\): \({(x + 2)^2} + {(y - 3)^2} = 25\) tại điểm \(M(1;7)\)

Giải

Áp dụng công thức, ta có phương trình đường tiếp tuyến cần tìm là:

\((1 + 2)(x + 2) + (7 - 3)(y - 3) = 25\) \( \Leftrightarrow 3x + 4y - 31 = 0\)

Dạng 2. Đường tròn \((C)\): \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\)

Thì phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M({x_0},{y_0}) \in (C)\) là: 

\({x_0}x + {y_0}y + a({x_0} + x) + b({y_0} + y) + c = 0\)

Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((C)\): \({x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 8 = 0\) tại điểm \(M(4;0)\)

Giải

Áp dụng công thức, ta có phương trình đường tiếp tuyến cần tìm là:

\(4x + 0y - 1(4 + x) + 1(0 + y) - 8 = 0\) \( \Leftrightarrow 3x + y - 12 = 0\).

2. Phương trình tiếp tuyến của Elip

Elip có phương trình: \((E)\): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) 

Phương trình tiếp tuyến của elip \((E)\) tại điểm \(M({x_0},{y_0}) \in (E)\) là:

\(\frac{{{x_0}x}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}y}}{{{b^2}}} = 1\)

Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của elip \((E)\): \(\frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) tại điểm \(M(2;1)\)

Giải

Áp dụng công thức, ta có phương trình tiếp tuyến của \((E)\) tại điểm \(M(2;1) \in (E)\) là:

\(\frac{{2x}}{8} + \frac{{1y}}{4} = 1\) \( \Leftrightarrow x + 2y - 4 = 0\)

3. Phương trình tiếp tuyến của Hypebol

Hypebol có phương trình \((H)\): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Phương trình tiếp tuyến của hypebol \((H)\) tại điểm \(M({x_0},{y_0}) \in (H)\) là:

\(\frac{{{x_0}x}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}y}}{{{b^2}}} = 1\)

Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của  hypebol \((H)\): \({x^2} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1\) tại điểm \(M(2;\sqrt 6 )\)

Giải

Áp dụng công thức, ta có phương trình tiếp tuyến của \((H)\) tại điểm \(M(2;\sqrt 6 ) \in (H)\) là:

\(2x - \frac{{\sqrt 6 }}{2}y = 1 \) \(\Leftrightarrow 4x - \sqrt 6 y - 2 = 0\)

4. Phương trình tiếp tuyến của Parabol

Parabol có phương trình \((P)\): \({y^2} = 2px\)

Phương trình tiếp tuyến của parabol \((P)\) tại điểm \(M({x_0},{y_0}) \in (P)\) là: 

\({y_0}y = p({x_0} + x)\)

Ví dụ: Cho parabol \((P)\): \({y^2} = 2x\). Viết phương trình tiếp tuyến của \((P)\) tại điểm \(A(2; - 2)\)

Giải

Áp dụng công thức, ta có phương trình tiếp tuyến của \((P)\) tại điểm \(A(2; - 2) \in (P)\) là:

\( - 2y = 1(x + 2)\) \( \Leftrightarrow x + 2y + 2 = 0\)

(Sưu tầm và biên soạn)