Hàm số - Bài 1

BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I. Lí thuyết cần nhớ

1. Định nghĩa

Kí hiệu $K$ là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng và $y=f\left( x \right)$ là hàm số xác định trên $K$.

• Hàm số $y=f\left( x \right)$ được gọi là đồng biến trên $K$ nếu $\forall {{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\in K$, ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f\left({{x}_{1}}\right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$
• Hàm số $y=f\left( x \right)$ được gọi là nghịch biến trên $K$ nếu $\forall {{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\in K$, ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right)$. 

2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu

a) Điều kiện cần: Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên khoảng $I$.

• Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $I$ thì ${f}'\left( x \right)\ge 0$ với mọi $x\in I$.
• Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $I$ thì ${f}'\left( x \right)\le 0$ với mọi $x\in I$.

b) Điều kiện đủ: Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên khoảng $I$.

• Nếu ${f}'\left( x \right)>0$ với mọi $x\in I$ thì hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $I$.
• Nếu ${f}'\left( x \right)<0$ với mọi $x\in I$ thì hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $I$.
• Nếu ${f}'\left( x \right)=0$ với mọi $x\in I$ thì hàm số $f\left( x \right)$ không đổi trên khoảng $I$ (hàm số $f(x)$ còn gọi là hàm hằng trên khoảng $I$).

3. Định lý mở rộng

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên khoảng $I$. Nếu ${f}'\left( x \right)\ge 0$ với mọi $x\in I$ (hoặc ${f}'\left( x \right)\le 0$ với mọi $x\in I)$ và ${f}'\left( x \right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng $I$.

Ví dụ: Hàm số $y=2{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+6x-1$ có ${y}'=6{{x}^{2}}+12x+6=6{{(x+1)}^{2}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}.$

${y}'=0\Leftrightarrow x=-1$và $y'>0$ với mọi $x\ne -1$ . Theo định lý mở rộng, ta có thể thấy hàm số đã cho luôn đồng biến.

4. Ứng dụng của tính đơn điệu hàm số

Bài toán 1: Giải phương trình $f\left( x \right)=0$ có tập xác định $D$

• Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến, hàm $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên $K$ thì phương trình $f\left( x \right)=g\left( x \right)$ có nhiều nhất không quá 1 nghiệm trên $K$.
• Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ đơn điệu trên $K$ thì $f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v$, với $u$, $v\in K$.

Bài toán 2: Giải bất phương trình $f\left( x \right)>0$ có tập xác định $D$ (tương tự cho các bất phương trình $f\left( x \right)<0$ ; $f\left( x \right)\ge 0$ ; $f\left( x \right)\le 0)$

• Giả sử $f\left( x \right)$ đồng biến (nghịch biến) trên $D$ và ${{x}_{o}}\in D$ sao cho $f\left( {{x}_{o}} \right)=0$.

Khi đó, bất phương trình $f\left( x \right)>0\Leftrightarrow f\left( x \right)>f\left( {{x}_{o}} \right)\Leftrightarrow x>{{x}_{o}}$(hoặc $x<{{x}_{o}})$.

• Biến đổi bất phương trình về dạng $F\left( g\left( x \right) \right)>F\left( h\left( x \right) \right)$, trong đó $F\left( t \right)$ là hàm đồng biến (nghịch biến) trên $K$ ; $g\left( x \right)$ và $h\left( x \right)$ thuộc $K$, với mọi $x\in D$.

Khi đó, bất phương trình $F\left( g\left( x \right) \right)>F\left( h\left( x \right) \right)\Leftrightarrow g\left( x \right)>h\left( x \right)$ (hoặc $g\left( x \right)<h\left( x \right))$.

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Dạng 1: Xét khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Câu 1: Cho hàm số $y=\frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}+x-1$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$.                   

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên $\left( -\infty ;1 \right)$.

C. Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( 1;+\infty\right)$ và nghịch biến trên $\left( -\infty ;1 \right)$.    

D. Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( -\infty ;1 \right)$ và nghịch biến $\left( 1;+\infty\right)$.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có ${y}'={{x}^{2}}+2x+1={{\left( x+1 \right)}^{2}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ và ${y}'=0\Leftrightarrow x=-1$.
Theo định lý mở rộng suy ra hàm số đã cho luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$. Đáp án A

Câu 2: Hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+{{m}^{2}}-1$ nghịch biến trên khoảng nào được cho dưới đây?
A. $\left( -1;3 \right)$.
B. $\left( -\infty ;-3 \right)$.
C. $\mathbb{R}$.
D. $\left( -\infty ;-1 \right)$.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6x-9$, ${y}'=0\Rightarrow 3{{x}^{2}}-6x-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=-1 \\ & x=3 \\ \end{align*} \right.$.
Bảng xét dấu ${y}':$

Từ bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -1;3 \right)$.  Đáp án A.
Lưu ý: Hệ số tự do không ảnh hưởng đến kết quả của đạo hàm. Không phải bài toán nào chứa tham số cũng khó!

Câu 3: Hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi
A. $\left[ \begin{align*} & a=b=0;\,\text{ }c>0 \\ & {{b}^{2}}-3ac\le 0 \\ \end{align*} \right.$.
B. $\left[ \begin{align*} & a=b=c=0 \\ & a>0;\,\text{ }{{b}^{2}}-3ac\end{align*}\right.$
C. $\left[ \begin{align*} & a=b=0;\text{ }\,c>0 \\ & a>0;\,\text{ }{{b}^{2}}-3ac\le 0 \\ \end{align*} \right.$.
D. $\left[ \begin{align*} & a=b=0;\,\text{ }c>0 \\ & a>0;\text{ }\,{{b}^{2}}-3ac\ge 0 \\ \end{align*} \right.$.

Để cô lập vấn đề, trước tiên ta sẽ xét hai trường hợp là: $a=b=0$ và $a\ne 0.$
Nếu $a=b=0$ thì $y=cx+d$ là hàm bậc nhất. Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $c>0$.
Nếu $a\ne 0$, ta có ${y}'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow {y}'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & a>0 \\ & {\Delta }'\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{align*} & a>0 \\ & {{b}^{2}}-3ac\le 0 \\ \end{align*} \right.$. Đáp án C
Lưu ý: Xét dấu biểu thức ${{b}^{2}}-3ac$ sẽ cho ta rất nhiều thông tin của hàm bậc 3. Bạn đọc sẽ được tìm hiểu trong các phần sau của chương hàm số này.

Câu 4: Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+2$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1,+\infty )$ .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;1)$ và nghịch biến trên khoảng $(1,+\infty )$.
D. Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có ${y}'=-3{{x}^{2}}+6x-3=-3{{\left( x-1 \right)}^{2}}\le 0\,,\,\forall x\in \mathbb{R}$. Đáp án A

Câu 5: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x+15$ Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-3;1)$ .
B. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
C. Hàm số đồng biến trên $(-9;-5)$.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(5;+\infty )$.

Đáp án B Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}+6x-9=3\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)$. Xét ${y}'=0$ có 2 nghiệm đơn là $x=1$ và $x=-3$ nên hàm số không đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Câu 6: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$?
A. $y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2$.
B. $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+2$.
C. $y=-{{x}^{3}}+3x+1$.
D. $y=2{{x}^{3}}+5x-1$.

Để giải nhanh bài này, ta dùng phương pháp loại trừ:
Hàm đa thức bậc 3 nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì hệ số $a<0$ $\rightarrow$ Loại đáp án A và D.
Xét đáp án B: Ta có ${y}'=-3{{x}^{2}}+6x-3=-{{\left( x-1 \right)}^{2}}\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$ và ${y}'=0\Leftrightarrow x=1$.
Suy ra hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$. $\rightarrow$ Đáp án B

Câu 7: Hàm số $y=2{{x}^{4}}+1$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $\left( -\infty ;-\frac{1}{2} \right)$.
B. $\left( 0;+\infty \right)$.
C. $\left( -\frac{1}{2};+\infty \right)$.
D. $\left( -\infty ;0 \right)$.

Đáp án B
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Ta có ${y}'=8{{x}^{3}}$; ${y}'=0\Leftrightarrow x=0$. Bảng xét dấu ${y}':$

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.

Câu 8: Cho hàm số $y=2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+m$. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$.
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( 1;+\infty \right)$.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$.

Đáp án D
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có: ${y}'=8{{x}^{3}}-8x=8x\left( {{x}^{2}}-1 \right);\,\,{y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & x=\pm 1 \\ \end{align*} \right.$.
Bảng xét dấu ${y}':$

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -1;0 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$; nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( 0\,;1 \right)$. Đáp án D

Câu 9: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$?
A. $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$.
B. $y=-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x-1$.
C. $y=-{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+2$.
D. $y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2$.

Ở mức độ khởi đầu, bạn đọc nên lập bảng biến thiên của cả 4 hàm số cho thành thạo.

Khi xét các hàm số, ta thấy chỉ có hàm số ở đáp án B thỏa mãn:

Xét B: $y=-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x-1\Rightarrow {y}'=-3{{x}^{2}}+2x-2<0\,,\,\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

® Đáp án B

Lưu ý: Khi làm bài thi trắc nghiệm ta có thể dùng phương pháp loại trừ.

Hàm trùng phương không thể nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ® Loại đáp án C và D.

Hàm đa thức bậc 3 nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì $a<0$ ® Loại đáp án A.

Câu 10: Cho hàm số$y=\frac{x+1}{1-x}$ . Khẳng định nào sao đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;1)\cup (1;+\infty )$.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;1)\cup (1;+\infty )$.
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.

Đáp án D
TXĐ: $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$
Ta có ${y}'=\frac{2}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}>0$, $\forall x\ne 1$.
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty \,;1 \right)$ và $\left( 1\,;+\infty \right)$.Đáp án D
Lưu ý: Công thức tính đạo hàm nhanh cho hàm bậc nhất trên bậc nhất như sau:
Cho $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $ad-bc\ne 0;c\ne 0$.
Khi đó $y'=\frac{ad-bc}{{{(cx+d)}^{2}}}$.

Câu 11: Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x+3}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}.$
B. Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ -3 \right\}.$
C. Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( -\infty ;0 \right).$
D. Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( 3;+\infty \right).$

Đáp án D
Tập xác định: $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -3 \right\}.$
Ta có: ${y}'=\frac{7}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}>0,\text{ }\forall x\ne -3.$
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-3 \right)$ và $\left( -3;+\infty \right)$.
Vì $\left( 3\,;+\infty \right)\subset \left( -3\,;+\infty \right)$ nên hàm số đồng biến trên $\left( 3;+\infty \right).$
$\rightarrow$ Đáp án D

Câu 12: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó?
A. $y=\frac{x-2}{x+2}$.
B. $y=\frac{-x+2}{x+2}$.
C. $y=\frac{x-2}{-x+2}$.
D. $y=\frac{x+2}{-x+2}$.

Xét B: có ${y}'=\frac{-4}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}<0$, $\forall x\ne -2$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

® Đáp án B

Câu 13: Hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-3x+5}{x+1}$ nghịch biến trên các khoảng nào ?

A. $(-\infty ;-4)$và $(2;+\infty )$ .                    

B. $(-4;2)$ .

C. $(-\infty ;-1)$và $(-1;+\infty )$ .                  

D. $(-4;-1)$và $(-1;2)$ .

TXĐ: $D=\mathbb{R}\ \backslash \{-1\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$.
Ta có $y'=\frac{{{x}^{2}}+2x-8}{{{(x+1)}^{2}}},$$y'=0\Rightarrow {{x}^{2}}+2x-8=0\Rightarrow \left[ \begin{align*} & x=2 \\ & x=-4 \\ \end{align*} \right.$
. Bảng xét dấu ${y}'$:

Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-4;-1)$ và $(-1;2)$. $\rightarrow$ Đáp án D

Câu 14: Hàm số$y=\frac{3}{5}{{x}^{5}}-3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-2$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $(-\infty ;0)$ .
B. $\mathbb{R}$.
C. $(0;2)$ .
D. $(2;+\infty )$.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có: $y'=3{{x}^{4}}-12{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}=3{{x}^{2}}{{(x-2)}^{2}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
Áp dụng định lý mở rộng, ta có hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$. $\rightarrow$ Đáp án B

Câu 15: Cho hàm số $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{4-x}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên $\left( 1;4 \right).$
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên $\left( 1;\frac{5}{2} \right).$
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên $\left( \frac{5}{2};4 \right).$
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên $\mathbb{R}.$

Tập xác định: $D=\left[ 1\,;4 \right].$
Ta có ${y}'=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{4-x}}$, $y'=0\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=\sqrt{4-x}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*}& x\in \left( 1;4 \right) \\ & x-1=4-x \\ \end{align*} \right.\Rightarrow x=\frac{5}{2}\in \left( 1;4 \right)$.
Bảng xét dấu ${y}':$

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{5}{2};4 \right).$ $\rightarrow$ Đáp án C

Câu 16: Cho hàm số $y=\frac{1}{2}x+{{\sin }^{2}}x$ với $x\in \left[ 0\,;\,\pi \right]$. Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào?
A. $\left( 0;\frac{7\pi }{12} \right)$ và $\left( \frac{11\pi }{12};\pi \right)$.
B. $\left( \frac{7\pi }{12};\frac{11\pi }{12} \right)$.
C. $\left( 0;\frac{7\pi }{12} \right)$và $\left( \frac{7\pi }{12};\frac{11\pi }{12} \right)$
D. $\left( \frac{7\pi }{12};\frac{11\pi }{12} \right)$và $\left( \frac{11\pi }{12};\pi \right)$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có: $y'=\frac{1}{2}+\sin 2x;\quad y'=0\Leftrightarrow \sin 2x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \\ & x=\frac{7\pi }{12}+k\pi \\ \end{align*} \right.$ ,$k\in \mathbb{Z}$
Với $x\in [0;\pi ]\Rightarrow \left[ \begin{align*} & x=\frac{7\pi }{12} \\ & x=\frac{11\pi }{12} \\ \end{align*} \right.$
Bảng xét dấu $y':$

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( 0;\frac{7\pi }{12} \right)$ và$\left( \frac{11\pi }{12};\pi \right)$ $\rightarrow$ Đáp án A

Câu 17: Cho hàm số $y=x+{{\cos }^{2}}x$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
B. Hàm số đồng biến trên $\left( \frac{\pi }{4}+k\pi ;+\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;\frac{\pi }{4}+k\pi \right)$ .
C. Hàm số nghịch biến trên $\left( \frac{\pi }{4}+k\pi ;+\infty \right)$và đồng biến trên khoảng .$\left( -\infty ;\frac{\pi }{4}+k\pi \right)$.
D. Hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có $y'=1-\sin 2x\ge 0\ \ \ \forall x\in \mathbb{R}$ $\Rightarrow$ Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$. $\rightarrow$ Đáp án A

Câu 18: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y=f\left( x \right)$nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( -2;0 \right)$
B. $\left( -\infty ;-2 \right)$
C. $\left( 0;2 \right)$
D. $\left( 0;+\infty \right)$

Nhận thấy $y'<0$ trên khoảng $(-2;0)$, các khoảng còn lại đều không thỏa mãn. $\rightarrow$Đáp án A

Câu 19: Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathbb{R}$?
A. $y={{\left( x-1 \right)}^{2}}+2$.
B. $y=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$.
C. $y=\frac{x}{x+1}$.
D. $y=\tan x$.

Xét hàm số $y=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Ta có $y'=\frac{1}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}>0,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. $\rightarrow$ Đáp án B.

Câu 20: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1-\sqrt{5}\,;\,1 \right)$.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1+\sqrt{5}\,;\,+\infty \right)$.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0\,;2 \right)$.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 1\,;2 \right)$.

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( 1-\sqrt{5}\,;\,1 \right)$; $\left( 1+\sqrt{5}\,;\,+\infty \right)$ và nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty \,;\,1-\sqrt{5} \right)$; $\left( 1\,;\,1+\sqrt{5} \right)$.Nên đáp án A, B đúng
Do $\left( 1\,;2 \right)\subset \left( 1\,;\,1+\sqrt{5} \right)$ nên đáp án D đúng. Chỉ còn lại đáp án C sai $\rightarrow$ Đáp án C

Câu 21: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ -\,1 \right\}$ và có bảng biến thiên như hình dưới đây.

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\,\infty ;-1 \right)\cup \left( -\,1;0 \right)$.
B. Hàm số nghịch biết trên khoảng $\left( -\infty \,;0 \right)$.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0\,;1 \right)$.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -1\,;+\infty \right)$.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\,\infty ;-1 \right)$ và $\left( -\,1;0 \right)$$\rightarrow$ A sai (sai chỗ dấu $\cup$) và B sai.
Hàm số đồng biến khoảng $\left( 0\,;\,+\,\infty \right)$ $\rightarrow$ C đúng vì $\left( 0\,;1 \right)\subset \left( 0\,;\,+\infty \right)$. $\rightarrow$ Đáp án C.

Câu 22: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số đồng biến trên $\left( 1;+\,\infty \right).$
B. Hàm số đồng biến trên $\left( -\,\infty ;-\,1 \right)$ và $\left( 1;+\,\infty \right).$
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\,1;1 \right).$
D. Hàm số đồng biến trên $\left( -\,\infty ;-\,1 \right)\cup \left( 1;+\,\infty \right).$

Dựa vào đồ thị ta thấy: Hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$, nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)$ nên các khẳng định A, B, C đúng. $\rightarrow$ Đáp án D

Câu 23: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên $\left( -\,\infty ;0 \right)$ và $\left( 0;+\,\infty \right)$.
B. Hàm số đồng biến trên $\left( -\,1;0 \right)\cup \left( 1;+\,\infty \right).$
C. Hàm số đồng biến trên $\left( -\,\infty ;-\,1 \right)$ và $\left( 1;+\,\infty \right).$
D. Hàm số đồng biến trên $\left( -\,1;0 \right)$ và $\left( 1;+\,\infty \right).$

Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -1\,;0 \right)$; $\left( 1;\,+\infty \right)$ và nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty \,;-1 \right)$; $\left( 0\,;\,1 \right)$. $\rightarrow$ Đáp án D.

Câu 24: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right).$
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( \frac{-1}{2};+\infty \right).$
C. Hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;-2 \right).$
D. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}.$

Ta cần chú ý đồ thị hàm số xuất hiện trong đề bài là của ${f}'\left( x \right)$.
Dựa vào đồ thị của hàm số ${f}'\left( x \right)$, ta có bảng xét dấu như sau:

$\rightarrow$ Đáp án A

Câu 25: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right).$
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -2\,;1 \right).$
C. Hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;-2 \right).$
D. Hàm số nghịch biến trên $\left( -2\,;\,1 \right)$

Dựa vào đồ thị của hàm số ${f}'\left( x \right)$, ta có bảng xét dấu như sau:

$\rightarrow$ Đáp án D

Câu 26: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( x+2 \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\,2;+\,\infty \right).$
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\,\infty ;-\,2 \right)$ và $\left( 0;+\,\infty \right).$
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\,\infty ;-\,2 \right)$ và $\left( 0;+\,\infty \right).$
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\,2;0 \right).$

Ta có ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & x=-2 \\ \end{align*} \right.$. Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -\,2;+\,\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( -\,\infty ;-\,2 \right)$. $\rightarrow$ Đáp án A.

Câu 27: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{x}^{2019}}.{{\left( x-1 \right)}^{2018}}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0\,;\,+\infty \right)$.
C. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0\,;\,+\infty \right)$.

Ta có: ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0\, \\ & x=1\, \\ \end{align*} \right.$.
Nhận thấy $x=0$ là nghiệm bội lẻ, $x=1$ là nghiệm bội chẵn.
Bảng xét dấu ${f}'\left( x \right):$

$\rightarrow$ Đáp án B
Lưu ý: Dấu của ${f}'\left( x \right)$ không đổi khi qua nghiệm bội chẵn.

Câu 28: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f'\left( x \right)>0,\text{ }\forall x>0.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $f\left( 2 \right)+f\left( \pi \right)< f\left( 3 \right)+f\left( 4 \right).$
B. $f\left( 2 \right)-f\left( \pi \right)\ge 0.$
C. $f\left( 2 \right)+f\left( \pi \right)<2f\left( 2 \right).$
D. $f\left( 2 \right)+f\left( 3 \right)=2f\left( 4 \right).$

Từ giải thiết suy ra hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right).$
$\Rightarrow f\left( 2 \right)< f \left( 3 \right)$ và $f \left( \pi \right) < f \left( 4 \right)$
Từ đó ta có$f \left( 2 \right)+f \left( \pi \right) < f \left( 3 \right)+f \left( 4 \right).$ $\rightarrow$ Đáp án A.

Dạng 2: Tìm $m$ để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định

Câu 29: Tìm tất cả các giá trị tham số $m$ sao cho hàm số $y=\frac{-{{x}^{3}}}{3}-m{{x}^{2}}+\left( 2m-3 \right)x+2-m$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ?
A. $-3\leq m\leq 1$.
B. $m\leq 1$.
C. $-3 < m < 1$.
D. $m \leq-3; m \geq 1$.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Ta có ${y}'=-{{x}^{2}}-2mx+2m-3$.
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow$${y}'\le 0\quad\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & a=-1<0\,,\,\forall m \\ & \Delta =4{{m}^{2}}+4\left( 2m-3 \right)\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow -3\le m\le 1$. $\rightarrow$ Đáp án A
Lưu ý : Ta có thể giải nhanh bằng cách xét hệ điều kiện : $\left\{ \begin{align*} & a<0 \\ & {{b}^{2}}-3ac\le 0 \\ \end{align*} \right.$.

Câu 30: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-(m+1)x+2m-1}{x-m}$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
A. $m>1$.
B. $m \le 1$.
C. $m<1$.
D. $m \ge 1$.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \{\ m\}$ . Ta có $y'=\frac{{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m+1}{{{(x-m)}^{2}}}$ .
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $\Leftrightarrow {y}'\ge 0$, $\forall x\in D$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m+1\ge 0$, $\forall x\in D$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & a=1>0\,,\forall m \\ & \Delta =4{{m}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-m+1 \right)\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow m\le 1$.
$\rightarrow$ Đáp án B

Câu 31: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ trên $\left( -2019\,;\,2019 \right)$ để hàm số $y=x+m\cos x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?
A. 0.
B. Vô số.
C. 4037.
D. 4036.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ . Ta có $y'=1-m\sin x$ .
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m\sin x\le 1,\forall x\in \mathbb{R}$ .
 Trường hợp 1: $m=0$ , ta có $0\le 1,\forall x\in \mathbb{R}$ . Vậy hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
 Trường hợp 2: $m>0$ , ta có $\sin x\le \frac{1}{m},\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{1}{m}\ge 1\Leftrightarrow m\le 1.$
 Trường hợp 3: $m<0$ , ta có $\sin x\ge \frac{1}{m},\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{1}{m}\le -1\Leftrightarrow m\ge -1.$
Mà $m \in \mathbb{Z},\,\,-2019 < m < 2019$ nên $m \in \left \{ -2018\,;\,-2017\,;...;\,2018 \right\}$$\Rightarrow$Có 4037 giá trị thỏa mãn.
$\rightarrow$ Đáp án C

Câu 32: Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=2{{x}^{3}}-3\left( m+2 \right){{x}^{2}}+6\left( m+1 \right)x+5$ đồng biến trên $\mathbb{R}$?
A. 0.
B. Vô số.
C. 2.
D. 1.

Ta có $f'(x)=0\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-6(m+2)x+6(m+1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=1 \\ & x=m+1 \\ \end{align*} \right.$ .
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)\ge 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=0$ có nghiệm kép $\Leftrightarrow m=0$.
$\rightarrow$ Đáp án D

Câu 33: Giá trị nhỏ nhất của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{{{x}^{3}}}{3}+m{{x}^{2}}-mx-m$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ là
A. $m=-5$.
B. $m=0$.
C. $m=-1$.
D. $m=-6$.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Ta có $y'={{x}^{2}}+2mx-m$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow {y}'\ge 0$, $\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & a=1>0\,,\forall m \\ & \Delta =4{{m}^{2}}+4m\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow -1\le m\le 0$.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ là $m=-1$.
$\rightarrow$ Đáp án C

Câu 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y=\frac{(m+3)x-2}{x+m}$ nghịch biến trên các khoảng xác định của nó?
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. Vô số.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \{-m\}$. Ta có $y'=\frac{{{m}^{2}}+3m+2}{{{(x+m)}^{2}}}$ .
YCBT $\Leftrightarrow y'<0,\forall x \in D \Leftrightarrow {{m}^{2}}+3m+2<0 \Leftrightarrow -2 < m <-1$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow$Không có giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
$\rightarrow$ Đáp án C

Câu 35: (THPTQG 2016 – 2017) Cho hàm số $y=\frac{mx-2m-3}{x-m}$ với $m$ là tham số thực. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $m$ để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của $S$.
A. $5$.
B. $4$.
C. Vô số.
D. $3$.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ m \right\}$. Ta có $y'=\frac{-{{m}^{2}}+2m+3}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}$.
YCBT $\Leftrightarrow$ $y'>0,\forall x \ne m$ $\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+2m+3>0 \Leftrightarrow -1< m <3$.
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 0;1;2 \right\}.$
$\rightarrow$ Đáp án D
Lưu ý: Thường gặp sai lầm là YCBT $\Leftrightarrow$ $y' \ge 0,\forall x\ne m\Leftrightarrow -1\le m\le 3.$

Câu 36: (THPTQG 2016 – 2017) Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( 4m+9 \right)x+5$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)?$
A. $4.$
B. $6.$
C. $7.$
D. $5.$

TXĐ: $\text{D}=\mathbb{R}$. Ta có: $y'=-3{{x}^{2}}-2mx+4m+9.$
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow y'\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & a=-1<0\,,\forall m \\ & \Delta =4{{m}^{2}}+12\left( 4m+9 \right)\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow -9\le m\le -3$.
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ $m\in \left\{ -9;-8;...;-3 \right\}.$
$\rightarrow$ Đáp án C

Câu 37: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( 4m-3 \right)x+2019$. Tìm giá trị lớn nhất của tham số thực $m$ để hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. $m=1$.
B. $m=2$.
C. $m=4$.
D. $m=3$.

Tập xác định $\text{D}=\mathbb{R}$. Ta có: $y'={{x}^{2}}-2mx+4m-3$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & a=1>0\,,\forall m \\ & \Delta =4{{m}^{2}}-4\left( 4m-3 \right)\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow 1\le m\le 3$.
Suy ra giá trị lớn nhất của tham số $m$ thỏa mãn là $m=3.$
$\rightarrow$ Đáp án D

Câu 38: Cho hàm số $y=\frac{m}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x+m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc khoảng $\left( -5\,;5 \right)$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. $4$.
B. $0$.
C. $5$.
D. $1$.

TXĐ: $\text{D}=\mathbb{R}$. Ta có: $y'=m{{x}^{2}}-4x+m+3$.
YCBT $\Leftrightarrow y'\ge 0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}$.
 TH1: $m=0$ thì $y'=-4x+3\ge 0\Leftrightarrow x\le \frac{3}{4}$ (không thỏa mãn).
 TH2: $\left\{ \begin{align*} & a=m>0 \\ & \Delta {{'}_{y'}}=-{{m}^{2}}-3m+4\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow m\ge 1.$
Mà $m \in \mathbb{Z}\,,\,\,m \in \left( -5\,;\,5 \right)$ nên $m \in \left \{ 1\,;\,2;\,3\,;4 ;5 \right \}$ $\Rightarrow$ Có 5 giá trị của $m$ thỏa mãn.
$\rightarrow$ Đáp án D

Câu 39: Cho hàm số $y=\left( m+2 \right)\frac{{{x}^{3}}}{3}-\left( m+2 \right){{x}^{2}}+\left( m-8 \right)x+{{m}^{2}}-1$. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}.$
A. $m<-2$.
B. $m>-2$.
C. $m\le -2$.
D. $m\ge -2$.

TXĐ: $D=\mathbb{R}$. Ta có $y'=\left( m+2 \right){{x}^{2}}-2\left( m+2 \right)x+m-8$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow$ $y'\le 0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}$.
 TH1: $m+2=0\Leftrightarrow m=-2$, khi đó $y'=-10\le 0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}$ (thỏa mãn).
 TH2: $\left\{ \begin{align*} & a=m+2<0 \\ & \Delta '={{\left( m+2 \right)}^{2}}-\left( m+2 \right)\left( m-8 \right)\le 0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m+2<0 \\ & 10\left( m+2 \right)\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow m<-2$.
Vậy $m \le -2$ thì thỏa mãn yêu cầu.
$\rightarrow$ Đáp án C

Câu 40: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}\left( \sin \alpha +\cos \alpha \right){{x}^{2}}+\frac{3}{4}x\sin 2\alpha .$ Các giá trị của $\alpha$ để hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$ là
A. $\frac{\pi }{12}+k\pi \le \alpha \le \frac{5\pi }{12}+k\pi .$
B. $\frac{\pi }{6}+k2\pi \le \alpha \le \frac{5\pi }{6}+k2\pi .$
C. $\frac{\pi }{12}+k\pi <\alpha <\frac{5\pi }{12}+k\pi .$
D. $\frac{\pi }{6}+k2\pi <\alpha <\frac{5\pi }{6}+k2\pi .$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Ta có: $y'={{x}^{2}}-\left( \sin \alpha +\cos \alpha \right)x+\frac{3}{4}\sin 2\alpha$.
Hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$ khi $y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( \sin \alpha +\cos \alpha \right)x+\frac{3}{4}\sin 2\alpha \ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & a=1>0,\forall x\in \mathbb{R} \\ & \Delta =1-2\sin 2\alpha \le 0 \\ \end{align*} \right.$
$\Leftrightarrow 1-2\sin 2\alpha \le 0\Leftrightarrow \sin 2\alpha \ge \frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{\pi }{6}+k2\pi \le 2\alpha \le \frac{5\pi }{6}+k2\pi$.
$\Leftrightarrow \frac{\pi }{12}+k\pi \le \alpha \le \frac{5\pi }{12}+k\pi$.
$\rightarrow$ Đáp án A

Câu 41: Các giá trị thực của m để hàm số $y=\sqrt{{{x}^{2}}+2}-mx-2$ đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$ là
A. $m<1.$
B. $-1\le m\le 1.$
C. $-1 < m <1.$
D. $m\le -1.$

Tập xác định $D=\mathbb{R}$. Ta có: $y'=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}-m$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$ khi $y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}-m\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow m\le \frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}},\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m\le \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,\,\,g\left( x \right)$ với $g\left( x \right)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}$
Mà $g'\left( x \right)=\frac{2}{\left( {{x}^{2}}+2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2}}>0,\forall \in \mathbb{R}$ và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=1;\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=-1$
$\Rightarrow m\le -1$.
$\rightarrow$ Đáp án D

Câu 42: Các giá trị thực của m để hàm số $y=\cos x+\sqrt{3}\sin \,x\,-2mx$ đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$ là
A. $m<-1.$
B. $m\le 1.$
C. $m\le -1.$
D. $m<1.$

Tập xác định $D=\mathbb{R}$. Ta có: $y'=-\sin x+\sqrt{3}\cos x-2m$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$ khi $y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
$\Leftrightarrow -\sin x+\sqrt{3}\cos x-2m\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow 2m\le \sqrt{3}\cos x-\sin x,\forall x\in \mathbb{R}.$
$\Leftrightarrow 2m\le 2\sin \left( \frac{\pi }{3}-x \right),\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow 2m\le \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,\left[ 2\sin \left( \frac{\pi }{3}-x \right) \right].$
Vì $-1\le \sin \left( \frac{\pi }{3}-x \right)\le 1\Leftrightarrow -2\le 2\sin \left( \frac{\pi }{3}-x \right)\le 2$
$\Rightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,\left[ \sin \left( \frac{\pi }{3}-x \right) \right]=-2\Rightarrow 2m\le -2\Leftrightarrow m\le -1$
$\rightarrow$ Đáp án C

Câu 43: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số $y=\left( m+1 \right)x-\left( 2m-3 \right)\cos x$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)?$
A. 5.
B. $0.$
C. Vô số.
D. 10.

Ta có: $y'=m+1+\left( 2m-3 \right)\sin x.$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$ khi $y'\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
$\Leftrightarrow m+1+\left( 2m-3 \right)\sin x\le 0,\forall x\in \mathbb{R},$ đặt $\sin x=t,t\in \left[ -1;1 \right]$.
$\Rightarrow f\left( t \right)=m+1+\left( 2m-3 \right)t\le 0,\forall t\in \left[ -1;1 \right]$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & f\left( 1 \right)\le 0 \\ & f\left( -1 \right)\le 0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & 3m-2\le 0 \\ & -m+4\le 0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m\le \frac{2}{3} \\ & m\ge 4 \\ \end{align*} \right.\Rightarrow m\in \varnothing$
$\rightarrow$ Đáp án B

Dạng 3: Tìm $m$ để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng $\left( a\,;b \right)$

Câu 44: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số $y=\frac{mx+4}{x+m}$ giảm trên khoảng $(-\infty ;1)$ ?
A. $-2 < m <2$ .
B. $-2\le m \le -1$ .
C. $-2 < m \le -1$ .
D. $-2\le m\le 2$ .

Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \{ -m \}$. Ta có $y'=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{(x+m)}^{2}}}$.
Hàm số giảm trên khoảng $(-\infty ;1)$ $\Leftrightarrow y'<0, \forall x \in (-\infty ; 1)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & {{m}^{2}}-4<0 \\ & 1 \le -m \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow -2 < m \le -1$
$\rightarrow$ Đáp án C

Câu 45: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số $y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+1$ đồng biến trên khoảng $(0;\text{+}\infty )$?
A. $m\le 0$ .
B. $m\le 12$.
C. $m\ge 0$.
D. $m\ge 12$.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ . Ta có $y'=3{{x}^{2}}-12x+m$
Cách 1: Hàm số đồng biến trên $(0;\text{+}\infty )$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0\,,\forall x>0\Leftrightarrow m\ge -3{{x}^{2}}+12x\,,\,\forall x>0$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+12x$ với $x>0$.

YCBT $\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( 0\,;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)\Leftrightarrow m\ge 12$.
$\rightarrow$ Đáp án D
Cách 2:
 TH1: Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & 3>0\,,\forall m \\ & 36-3m\le 0 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow m\ge 12$.
 TH2: Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 0$.
+) $y'=0$ có nghiệm $x=0\Rightarrow m=0$. Nghiệm còn lại của $y'=0$ là $x=4$ (không thỏa mãn)
+) $y'=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & \Delta '>0 \\ & S<0 \\ & P>0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & {\Delta }'=36-3m>0 \\ & S=4<0 \\ & P=\frac{m}{3}>0 \\ \end{align*} \right.\Rightarrow m=\varnothing$

Câu 46: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-\left( m+1 \right){{x}^{2}}-\left( 2{{m}^{2}}-3m+2 \right)x+2m\left( 2m-1 \right)$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số đã cho đồng biến trên $\left[ \left. 2;+\infty \right) \right.$
A. $m<5$.
B. $-2\le m\le \frac{3}{2}$.
C. $m>-2$.
D. $m<\frac{3}{2}$.

Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x-\left( 2{{m}^{2}}-3m+2 \right).$
Xét ${y}'=0$ có ${\Delta }'={{\left( m+1 \right)}^{2}}+3\left( 2{{m}^{2}}-3m+2 \right)=7\left( {{m}^{2}}-m+1 \right)>0,\forall m.$
$\Rightarrow {y}'=0$ luôn có hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ (giả sử ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$).
YCBT $\Leftrightarrow$ ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 2$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & \left( {{x}_{1}}-2 \right)+\left( {{x}_{2}}-2 \right)<0 \\ & \left( {{x}_{1}}-2 \right)\left( {{x}_{2}}-2 \right)\ge 0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}<4 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4\ge 0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & \frac{2\left( m+1 \right)}{3}<4 \\ & \frac{-\left( 2{{m}^{2}}-3m+2 \right)}{3}-2.\frac{2\left( m+1 \right)}{3}+4\ge 0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m<5 \\ & -2\le m\le \frac{3}{2} \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow -2\le m\le \frac{3}{2}$.
$\rightarrow$ Đáp án B

Câu 47: Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3m\left( m+2 \right)x$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0\,;1 \right)$?
A. $m\le 0.$
B. $-1< m <0.$
C. $-1\le m \le 0.$
D. $m \ge -1.$

Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-6\left( m+1 \right)x+3m\left( m+2 \right)=3.\left[ {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+m\left( m+2 \right) \right].$
Cho ${y}'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+m\left( m+2 \right)=0$ có $\Delta '={{\left( m+1 \right)}^{2}}-m\left( m+2 \right)=1>0,\text{ }\forall m\in \mathbb{R}$. $\Rightarrow{y}'=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x = m \\ & x = m+2 \\ \end{align*} \right.$
Bảng xét dấu ${y}':$

Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên $\left( 0\,;1 \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m\le 0 \\ & m+2\ge 1 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow -\,1\le m\le 0.$
$\rightarrow$ Đáp án C

Câu 48: Cho hàm số $y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x-4$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( 0;3 \right).$
A. $m\ge \frac{12}{7}.$
B. $m\le \frac{12}{7}.$
C. $m\ge 1.$
D. $1\le m\le \frac{12}{7}.$

Ta có ${y}'=-{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+m+3.$
YCBT $\Leftrightarrow y'=-{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+m+3\ge 0,\text{ }\forall x\in \left( 0;3 \right)$
$\Leftrightarrow m\left( 2x+1 \right)\ge {{x}^{2}}+2x-3,\text{ }\forall x\in \left( 0;3 \right)\Leftrightarrow m\ge \frac{{{x}^{2}}+2x-3}{2x+1},\text{ }\forall x\in \left( 0;3 \right)\,\,\,\left( 1 \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x-3}{2x+1}$ trên khoảng $x\in \left( 0;3 \right)$, ta được $\underset{\left( 0;3 \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=g\left( 3 \right)=\frac{12}{7}$.
Suy ra $\left( 1 \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( 0;3 \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=\frac{12}{7}.$
$\rightarrow$ Đáp án A

Câu 49: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+mx+2$ nghịch biến trên đoạn có độ dài lớn nhất bằng $1$.
A. $m=-\frac{9}{4}$.
B. $m=3$.
C. $m\le 3$.
D. $m=\frac{9}{4}$.

Ta có $y'=3{{x}^{2}}+6x+m$.
YCBT $\Leftrightarrow$ $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\frac{2\sqrt{\Delta '}}{|a|}=1$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & {\Delta }'=9-3m>0 \\ & \frac{2\sqrt{{{\Delta }'}}}{\left| a \right|}=1 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m<3 \\ & \frac{2\sqrt{9-3m}}{3}=1 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m<3 \\ & m=\frac{9}{4} \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow m=\frac{9}{4}$.
$\rightarrow$ Đáp án D

Câu 50: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2\left( m-1 \right){{x}^{2}}+6$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;3 \right).$
A. $m<1$
B. $1 < m <2.$
C. $m \le 1.$
D. $m \le 2.$

TXĐ:$D=\mathbb{R}$ . Ta có $y'=4{{x}^{3}}-4\left( m-1 \right)x=4x\left[ {{x}^{2}}-\left( m-1 \right) \right];$
$\text{ }y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & {{x}^{2}}=m-1 \\ \end{align*} \right.$
 TH1: $m-1\le 0\Leftrightarrow m\le 1\Rightarrow y'=0$ có một nghiệm $x=0$ và $y'$ đổi dấu từ $''-''$ sang $''+''$ khi qua điểm $x=0\Rightarrow$Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ nên đồng biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)$.
Vậy $m\le 1$ thỏa mãn.
 TH2: $m-1>0\Leftrightarrow m>1\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & x=\pm \sqrt{m-1} \\ \end{align*} \right..$
Bảng xét dấu:

Đề hàm số đồng biến trên khoảng $(1;3)$ thì $(1;3) \subset (\sqrt{m-1};+\infty )$ $\Leftrightarrow \sqrt{m-1}\le 1\Leftrightarrow m\le 2$, kết hợp điều kiện $m>1$ ta được $1 < m \le 2$.
$\rightarrow$ Đáp án D

Câu 51: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số $y={{x}^{4}}-2(m-1){{x}^{2}}+m-2$ đồng biến trên khoảng $(1;3)$ ?
A. $m\in [-5;2)$.
B. $m\in (-\infty ;2]$.
C. $m\in (2;+\infty )$.
D. $\text{m}\in (-\infty ;-5)$.

TXĐ:$D=\mathbb{R}$.
Nhận xét : Đạo hàm của câu này giống hệt câu trên, dưới đây là một cách giải khác của bài toán:
Ta có $y'=4{{x}^{3}}-4(m-1)x$ .
Hàm số đồng biến trên $(1;3)\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in (1;3)$
$\Leftrightarrow g(x)={{x}^{2}}+1\ge m,\forall x\in (1;3)$ .
Xét hàm số $g(x)$ với $x\in (1\,;3)$:

Dựa vào bảng biến thiên ta có $m\le \min g(x)\Leftrightarrow m\le 2$.
$\rightarrow$ Đáp án B

Câu 52: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số $y=\frac{\tan x-2}{\tan x-m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi }{4} \right)$ ?
A. $1\le m<2$ .
B. $m\le 0\vee 1\le m<2$.
C. $m\ge 2$.
D. $m\le 0$.

Điều kiện: $\tan x\ne m$. Đặt $\tan x=t$. Với $x\in \left( 0\,;\frac{\pi }{4} \right)$ thì $t\in \left( 0\,;1 \right)$.
Khi đó hàm số trở thành $y\left( t \right)=\frac{t-2}{t-m}$ có ${y}'\left( t \right)=\frac{-m+2}{{{\left( t-m \right)}^{2}}}$.
YCBT $\Leftrightarrow {y}'\left( t \right)>0\,,\forall t\in \left( 0\,;1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & -m+2 > 0 \\ & m\notin \left( 0\,;\,1 \right) \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m < 2 \\ & m \notin \left( 0\,;\,1 \right) \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & m\le 0 \\ & 1\le m<2 \\ \end{align*} \right.$
$\rightarrow$ Đáp án B
Lưu ý: Khi thực hiện phép đổi biến, ta lưu ý: ${{\left[ f\left( u\left( x \right) \right) \right]}^{\prime }}={f}'\left( u\left( x \right) \right).{u}'\left( x \right)$. Khi đó, việc xét tính đơn điệu của hàm số $y=f\left( u\left( x \right) \right)$ phụ thuộc vào dấu của tích ${f}'\left( u\left( x \right) \right).{u}'\left( x \right)$.
Ở bài trên, $u\left( x \right)=\tan x$ có ${u}'\left( x \right)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}>0$, $\forall x\in \left( 0\,;\frac{\pi }{4} \right)$ nên YCBT $\Leftrightarrow {y}'\left( t \right)>0\,,\forall t\in \left( 0\,;1 \right)$.

Câu 53: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{\tan x-2}{\tan x-m+1}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi }{4} \right)$.
A. $m\in \left[ 1;+\infty \right)$.
B. $m\in \left( 3;+\infty \right)$.
C. $m\in \left[ 2;3 \right)$.
D. $m\in \left( -\infty ;1 \right]\cup \left[ 2;3 \right).$

Điều kiện : $\tan x\ne m-1$. Đặt $t=\tan x$. Với $x\in \left( 0;\frac{\pi }{4} \right)\Rightarrow t\in \left( 0;1 \right).$
Hàm số trở thành $y\left( t \right)=\frac{t-2}{t-m+1}\Rightarrow {y}'\left( t \right)=\frac{3-m}{{{\left( t-m+1 \right)}^{2}}}$.
YCBT $\Leftrightarrow {y}'\left( t \right)>0,\,\,\forall t\in \left( 0;1 \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & 3-m>0 \\ & m-1\notin \left( 0;1 \right) \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m<3 \\ & m-1\notin \left( 0;1 \right) \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & m\le 1 \\ & 2\le m<3 \\ \end{align*} \right.$.
$\rightarrow$ Đáp án D

Câu 54: Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để hàm số $y=\frac{\sin x+m}{\sin x-1}$ nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{\pi }{2};\pi \right)$.
A. $m \ge -1$.
B. $m > -1$.
C. $m < -1$.
D. $m \le -1$.

Điều kiện: $\sin x\ne 1$. Đặt $t=\sin x$, với $x\in \left( \frac{\pi }{2};\pi \right)\Rightarrow t\in \left( 0;1 \right)$.
Hàm số trở thành $y\left( t \right)=\frac{t+m}{t-1}\Rightarrow y'\left( t \right)=\frac{-1-m}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}$.
Ta có $t'=\cos x<0,\text{ }\forall x\in \left( \frac{\pi }{2};\pi \right)$, do đó $t=\sin x$ nghịch biến trên $\left( \frac{\pi }{2};\pi \right)$.
Do đó YCBT $\Leftrightarrow y'\left( t \right)>0,\,\,\forall t\in \left( 0;1 \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & -1-m>0 \\ & 1\notin \left( 0;1 \right) \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow -1-m>0\Leftrightarrow m<-1$.
$\rightarrow$ Đáp án C

Câu 55: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{2\cos x+3}{2\cos x-m}$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi }{3} \right).$
A. $m\in \left( -3;+\infty \right).$
B. $m\in \left( -\infty ;-3 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right).$
C. $m\in \left( -\infty ;-3 \right).$
D. $m\in \left( -3;1 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right).$

Điều kiện: $\cos x\ne \frac{m}{2}$.
Đặt $t=\cos x$, với $x\in \left( 0;\frac{\pi }{3} \right)\Rightarrow t\in \left( \frac{1}{2};1 \right)$.
Hàm số trở thành $y\left( t \right)=\frac{2t+3}{2t-m}\Rightarrow y'\left( t \right)=\frac{-2m-6}{{{\left( 2t-m \right)}^{2}}}$.
Ta có $t'=-\sin x<0,\text{ }\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{3} \right)$, do đó $t=\cos x$ nghịch biến trên $\left( 0;\frac{\pi }{3} \right).$
Do đó YCBT $\Leftrightarrow y'\left( t \right)>0,\,\,\forall t\in \left( \frac{1}{2};1 \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & -2m-6>0 \\ & \frac{m}{2}\notin \left( \frac{1}{2};1 \right) \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & m<-3 \\ & m\notin \left( 1;2 \right) \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow m<-3.$
$\rightarrow$ Đáp án C

Câu 56: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ sao cho hàm số $y=\frac{2{{x}^{2}}+(1-m)x+1+m}{x-m}$ đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$?
A. 3.
B. 1.
C. 2.
D. 0.

Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \{m\}$.
Ta có ${y}'=\frac{2{{x}^{2}}-4mx+{{m}^{2}}-2m-1}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}$.
YCBT $\Leftrightarrow {y}'\ge 0,\,\forall x>1\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-4mx+{{m}^{2}}-2m-1\ge 0,\,\forall x>1$ $\left( * \right)$
Cho $g(x)=2{{x}^{2}}-4mx+{{m}^{2}}-2m-1$
Xét ${\Delta }'=4{{m}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}-2m-1 \right)=2{{\left( m+1 \right)}^{2}}\ge 0\,,\forall m$.
Suy ra $\left( * \right)\Leftrightarrow$ $\Delta {{'}_{g}}=2{{(m+1)}^{2}}\ge 0,\forall m$ nên (1)$\Leftrightarrow g(x)=0$ có hai nghiệm thỏa ${{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le 1$.
Điều kiện tương đương là $\left\{ \begin{align*} & 2g(1)=2({{m}^{2}}-6m+1)\ge 0 \\ & \frac{S}{2}=m\le 1 \\ \end{align*} \right.\Leftrightarrow m\le 3-2\sqrt{2}\approx 0,2$ .
Do đó không có giá trị nguyên dương của thỏa yêu cầu bài toán.
$\rightarrow$ Đáp án D

Dạng 4: Tính đơn điệu của hàm hợp

Câu 57: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Hàm số $y=f\left( {{x}^{2}} \right)$ nghịch biến trên khoảng
A. $\left( 0;1 \right)$.
B. $\left( 1;+\infty \right)$.
C. $\left( -1;0 \right)$.
D. $\left( -\infty ;0 \right)$.

Ta có ${y}'=2x{f}'\left( {{x}^{2}} \right)$, ${y}'<0\Leftrightarrow 2x{f}'\left( {{x}^{2}} \right)<0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & 0 < x <1 \\ & x < -1 \\ \end{align*} \right.$
Vậy hàm số nghịch biến trên $\left( 0;1 \right)$.
$\rightarrow$ Đáp án A

Câu 58: Cho ${f}'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)$. Hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)$ đồng biến trên khoảng
A. $\left( -1\, ;\,0 \right).$
B. $\left( 0\,;\,2 \right).$
C. $\left( 1\,;\,+\infty \right).$
D. $\left( 0\,;1 \right)$ và $\left( 2\,;+\infty \right).$

Ta có: $y'=\left( 2x-2 \right).{f}'\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)>0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x > 2 \\ & 0 < x < 1 \\ \end{align*} \right.$
$\rightarrow$ Đáp án D

Câu 59: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-1 \right)$ đồng biến trên khoảng
A. $\left( -\infty ;-\sqrt{2} \right)$
B. $\left( -1;1 \right)$
C. $\left( 1;\sqrt{2} \right)$
D. $\left( 0;1 \right)$

Ta có ${y}'={{\left[ f\left( {{x}^{2}}-1 \right) \right]}^{\prime }}=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-1 \right)$$\Rightarrow {y}'=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & {{x}^{2}}-1=-1 \\ & {{x}^{2}}-1=0 \\ & {{x}^{2}}-1=1 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & x=\pm 1 \\ & x=\pm \sqrt{2} \\ \end{align*} \right.$.
Mặt khác ta có ${f}'\left( {{x}^{2}}-1 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & {{x}^{2}}-1>1 \\ & -1<{{x}^{2}}-1<0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x < -\sqrt{2}\vee x > \sqrt{2} \\ & -1 < x < 1 \\ \end{align*} \right.$.
Ta có bảng xét dấu:

Vậy hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-1 \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$.
$\rightarrow$ Đáp án D

Câu 60: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $y=f\left( {{x}^{2}} \right)$ đồng biến trên khoảng
A. $\left( 1;2 \right)$
B. $\left( -2;-1 \right)$
C. $\left( 1;+\infty \right)$
D. $\left( -1;1 \right)$

Theo đồ thị của $y={f}'\left( x \right)$ ta có: ${f}'\left( x \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=-1 \\ & x=1 \\ & x=4 \\ \end{align*} \right.$ và $\left\{ \begin{align*} & {f}'\left( x \right)>0,\,\,\forall x\in \left( -1;1 \right)\cup \left( 4;+\infty \right) \\ & {f}'\left( x \right)<0,\,\,\forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 1;4 \right) \\ \end{align*} \right.$.
Ta có: $y=f\left( {{x}^{2}} \right)\Rightarrow {y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}} \right)$.
${y}'=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & {f}'\left( {{x}^{2}} \right)=0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1 \\ & {{x}^{2}}=4\Leftrightarrow x=\pm 2 \\ \end{align*} \right.$ và $\left\{ \begin{align*} & {f}'\left( {{x}^{2}} \right)>0,\,\,\forall {{x}^{2}}\in \left( -1;1 \right)\cup \left( 4;+\infty \right) \\ & {f}'\left( {{x}^{2}} \right)<0,\,\,\forall {{x}^{2}}\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 1;4 \right) \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & {f}'\left( {{x}^{2}} \right)>0,\,\,\forall x\in \left( -\infty ;-2 \right)\cup \left( -1;1 \right)\cup \left( 2;+\infty \right) \\ & {f}'\left( {{x}^{2}} \right)<0,\,\,\forall x\in \left( -2;-1 \right)\cup \left( 1;2 \right) \\ \end{align*} \right.$.
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( {{x}^{2}} \right)$ như sau

Theo BBT khoảng $\left( -2;-1 \right)$ thoả yêu cầu.
$\rightarrow$ Đáp án B

Câu 61: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị của $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ bên. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ -2019;\,\,2019 \right]$ để hàm số $y=f\left( \cos x+2x+m \right)$ đồng biến trên nửa khoảng $\left[ 0;\,\,+\infty \right).$
A. $2023.$
B. $2020.$
C. $4038.$
D. $2019.$

Ta có $y'=\left( -\sin x+2 \right).f'\left( \cos x+2x+m \right)$
YCBT $\Leftrightarrow$ $\left( -\sin x+2 \right).f'\left( \cos x+2x+m \right)\ge 0,\,\,\forall x\ge 0$.
Do $-\sin x+2>0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$ nên $\Rightarrow f'\left( \cos x+2x+m \right)\ge 0,\,\,\forall x\ge 0$
Dựa vào đồ thị ta suy ra $\cos x+2x+m\ge -2,\,\,\forall x\ge 0$ $\Leftrightarrow \cos x+2x\ge -2-m,\,\,\forall x\ge 0$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=\cos x+2x$ trên $\left[ 0;\,\,+\infty \right)$ có $g'\left( x \right)=-\sin x+2>0,\,\,\forall x\ge 0$ nên $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0; +\infty \right).$
$\Rightarrow \min_{[0:+\infty)} g(x)=g(0)=1$ , và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=+\infty$.
$\Rightarrow 1\ge -2-m\Leftrightarrow m\ge -3.$
Do $m\in \mathbb{Z}$, $m\in \left[ -2019;\,\,2019 \right]$ nên $m\in \left\{ -3\,;\,-2\,;\,...\,;2019 \right\}$ nên có 2023 giá trị thỏa mãn.
$\rightarrow$ Đáp án A

Câu 62: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có $f(-1)=0$ và có đồ thị hàm số $y={f}'(x)$ như hình vẽ bên. Hàm số $y=\left| 2f(x-1)-{{x}^{2}} \right|$ đồng biến trên khoảng
A. $\left( 3;+\infty \right)$.
B. $\left( -1;2 \right)$.
C. $\left( 0;+\infty \right)$.
D. $\left( 0;3 \right)\,.$

Đặt $g(x)=2f(x-1)-{{x}^{2}}\Rightarrow {g}'(x)=2\left[ {f}'(x-1)-(x-1)-1 \right]\,.$

Dựa vào đồ thị hàm số $y={f}'(x)$ và đồ thị hàm số $y=x+1$ ta có: ${g}'(x)>0$
$\Leftrightarrow {f}'(x-1)>(x-1)+1\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)>t+1$ với $t=x-1\,.$
$\Leftrightarrow -1 < t < 2\Rightarrow -1 < x-1 < 2\Leftrightarrow 0 < x <3$.
Lại có, $g(0)=2f(-1)-{{0}^{2}}=0$.
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số $y=\left| 2f(x-1)-{{x}^{2}} \right|$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;3 \right)$.
$\rightarrow$ Đáp án D

Câu 63: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng xét dấu của ${f}'\left( x \right)$ như sau:

Hàm số $y=g\left( x \right)=f\left( \left| {{x}^{2}}-1 \right|+1 \right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( -1\,;\,1 \right)$.
B. $\left( 0\,;\,1 \right)$.
C. $\left( -\infty \,;\,-\sqrt{3} \right)$.
D. $\left( 1\,;\,\sqrt{3} \right)$.

Ta có: $y=g\left( x \right)=f\left( \left| {{x}^{2}}-1 \right|+1 \right)=\left\{ \begin{align*} & f\left( {{x}^{2}} \right)\,\,khi\,\,x>1\vee x<-1 \\ & f\left( 2-{{x}^{2}} \right)\,\,khi\,\ -1\le x\le 1 \\ \end{align*} \right.$ $\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\left\{ \begin{align*} & 2x.{f}'\left( {{x}^{2}} \right)\ \,khi\,\,x>1\vee x<-1 \\ & -2x.{f}'\left( 2-{{x}^{2}} \right)\,\,khi\,\ -1\le x\le 1 \\ \end{align*} \right.$
 Với $x>1$ hoặc $x<-1$: ${g}'\left( x \right)>0$.

 Với $-1\le x\le 1$: ${g}'\left( x \right)>0$
$\Leftrightarrow -2x.{f}'\left( 2-{{x}^{2}} \right)>0\Leftrightarrow x.{f}'\left( 2-{{x}^{2}} \right)<0$

$\rightarrow$ Đáp án B

Dạng 5: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình

Câu 64: Phương trình $\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+\sqrt{7x+2}}=4$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. 4.

Điều kiện: $\left\{ \begin{align*} & 3x+1\ge 0 \\ & x+\sqrt{7x+2}\ge 0 \\ \end{align*} \right.$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+\sqrt{7x+2}}$ có ${f}'\left( x \right)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}+\frac{1+\frac{7}{2\sqrt{7x+2}}}{2\sqrt{x+\sqrt{7x+2}}}>0$.
$\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên tập xác định.
Lại có, $f\left( 1 \right)=4$; $x=1$ thỏa mãn điều kiện nên phương trình có nghiệm nguyên duy nhất $x=1$.
$\rightarrow$ Đáp án A

Câu 65: Bất phương trình $\sqrt{3x+1}+{{\left( x-1 \right)}^{3}}-2\ge 0$ có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc đoạn $\left[ -10\,;\,10 \right]$?
A. 11.
B. 12.
C. 10.
D. 14.

Điều kiện: $3x+1\ge 0\Leftrightarrow x\ge \frac{-1}{3}$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{3x+1}+{{\left( x-1 \right)}^{3}}-2$ có ${f}'\left( x \right)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}+3{{\left( x-1 \right)}^{2}}>0$, $\forall x>\frac{-1}{3}$. $\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên tập xác định.
Lại có, $f\left( 1 \right)=0$ nên bất phương trình tương đương $x\ge 1$.
Do $x\in \mathbb{Z}$, $x\in \left[ -10\,;\,10 \right]$ nên $x\in \left\{ 1\,;\,2\,;\,...\,;\,10 \right\}$$\Rightarrow$Có 10 giá trị của $x$ thỏa mãn.
$\rightarrow$ Đáp án C

Câu 66: Tích các nghiệm của phương trình $\frac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt[3]{2x+1}-3}=\frac{1}{x+2}$ bằng
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. $-4$.

Điều kiện: $\left\{ \begin{align*} & x\ge -1 \\ & x\ne 13 \\ \end{align*} \right.$.
Phương trình đã cho tương đương $\left( x+2 \right)\left( \sqrt{x+1}-2 \right)=\sqrt[3]{2x+1}-3$
$\Leftrightarrow \left( x+1 \right)\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}=2x+1+\sqrt[3]{2x+1}$
$\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{x+1}\right)}^{3}}+\sqrt{x+1}={{\left( \sqrt[3]{2x+1} \right)}^{3}}+\sqrt[3]{2x+1}$ $\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t$ có ${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0$, $\forall t\in \mathbb{R}$.
Suy ra $\left( * \right)\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=\sqrt[3]{2x+1}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & x\ge \frac{-1}{2} \\ & {{\left( x+1 \right)}^{3}}={{\left( 2x+1 \right)}^{2}} \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & x\ge \frac{-1}{2} \\ & {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x=0 \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \\ \end{align*} \right.$.
Vậy tích các nghiệm của phương trình là 0.
$\rightarrow$ Đáp án C

Câu 67: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9-m=0$ có đúng 1 nghiệm?
A. $m<-13\vee m>-9$.
B. $m\le -13\vee m\ge 9$.
C. $-13 < m < -9$.
D. $-13\le m\le -9$.

Phương trình đã cho trở thành ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9=m$.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9$ có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x$;
Ta có: ${f}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{align*} \right.$.
Bảng biến thiên:

Vậy phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{align*} & m<-13 \\ & m>-9 \\ \end{align*} \right.$.
$\rightarrow$ Đáp án A

Câu 68: Cho phương trình $\sqrt{{{x}^{2}}+mx+2}=2x+1$. Tập hợp các giá trị của $m$ để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt là
A. $\left( \frac{9}{2}\,;\,+\infty \right)\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ 0 \right\}$.
B. $\left[ \frac{9}{2}\,;\,+\infty \right)\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ 0 \right\}$.
C. $m\in \left( \frac{9}{2}\,;\,+\infty \right)$.
D. $m\in \left[ \frac{9}{2}\,;\,+\infty \right)$.

Phương trình đã cho tương đương $\left\{ \begin{align*} & 2x+1\ge 0 \\ & {{x}^{2}}+mx+2={{\left( 2x+1 \right)}^{2}} \\ \end{align*} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align*} & x\ge \frac{-1}{2} \\ & 3{{x}^{2}}+4x-1=mx \\ \end{align*} \right.$ . Nhận thấy, $x=0$ không là nghiệm của phương trình nên ta có: $\left\{ \begin{align*} & x\ge \frac{-1}{2} \\ & 3x+4-\frac{1}{x}=m\,\,\left( * \right) \\ \end{align*} \right.$.
YCBT $\Leftrightarrow$Phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm $x$ khác 0 và $x\ge \frac{-1}{2}$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=3x+4-\frac{1}{x}$ có ${f}'\left( x \right)=3+\frac{1}{{{x}^{2}}}>0$, $\forall x\in \left[ \frac{-1}{2}\,;\,+\infty \right)\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ 0 \right\}$. Bảng biến thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên suy ra $m\ge \frac{9}{2}$. $\rightarrow$ Đáp án D