1. Khái niệm số phức
-
Tập hợp số phức: \mathbb{C}.
-
Số phức (dạng đại số): z=a+bi. Trong đó:
▪ a,\text{ }b\in \mathbb{R}; a là phần thực, b là phần ảo.
▪ i là đơn vị ảo, {{i}^{2}}=-1.
|
Các thành phần của số phức |
- z là số thực \Leftrightarrow phần ảo của z bằng 0 \left( b=0 \right).
- z là số ảo (hay còn gọi là thuần ảo) \Leftrightarrow phần thực bằng 0 \left( a=0 \right).
- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
2. Hai số phức bằng nhau
Hai số phức {{z}_{1}}=a+bi \left( a;\text{ }b\in \mathbb{R} \right) và {{z}_{2}}=c+di \left( c;\text{ }d\in \mathbb{R} \right) được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi a=c và c=d. Khi đó ta viết {{z}_{1}}={{z}_{2}}.
3. Biểu diễn hình học số phức
Số phức z=a+bi \left( a;\text{ }b\in \mathbb{R} \right) được biểu diễn bởi điểm M\left( a;b \right) hay bởi \overrightarrow{u}=\left( a;b \right) trong mặt tọa độ.
4. Phép cộng và phép trừ số phức
Cho hai số phức {{z}_{1}}=a+bi \left( a;\text{ }b\in \mathbb{R} \right) và {{z}_{2}}=c+di \left( c;\text{ }d\in \mathbb{R} \right). Khi đó:
-
{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\left( a+c \right)+\left( b+d \right)i.
-
{{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\left( a-c \right)+\left( b-d \right)i.
-
Số đối của số phức z=a+bi là -z=-a-bi.
5. Phép nhân số phức
Cho hai số phức {{z}_{1}}=a+bi\text{ }\left( a;\text{ }b\in \mathbb{R} \right) và {{z}_{2}}=c+di\text{ }\left( c;\text{ }d\in \mathbb{R} \right). Khi đó:
{{z}_{1}}{{z}_{2}}=\left( a+bi \right)\left( c+di \right)=~\left( acbd \right)+\left( ad+bc \right)i.
Nhận xét. Với mọi số thực k và mọi số phức z=a+bi\text{ }\left( a;\text{ }b\in \mathbb{R} \right), ta có
k.z=k.\left( a+bi \right)=ka+kbi.
Đặc biệt: 0.z=0 với mọi số phức z.
6. Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của z=a+bi\text{ }\left( a;\text{ }b\in \mathbb{R} \right) là \bar{z}=a-bi.
Một số tính chất:
- \bar{\bar{z}}=z ; \overline{z\pm z'}=\overline{z}\pm \overline{z'} ; \overline{z.z'}=\overline{z}.\overline{z'}
- \overline{\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}=\frac{{{{\bar{z}}}_{1}}}{{{{\bar{z}}}_{2}}} ; z.\bar{z}=|z|={{a}^{2}}+{{b}^{2}}.
- z là số thực \Leftrightarrow z=\bar{z};
- z là số ảo \Leftrightarrow z=-\bar{z}.
7. Môđun của số phức
Môđun của số phức z=a+bi \left(a;\text{ }b\in \mathbb{R} \right) là số thực không âm \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} và được kí hiệu là |z|.
|
Môđun của số phức |
Một số tính chất:
- \left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} =\sqrt{z\bar{z}} =\left| \overrightarrow{OM} \right| hay {{\left| z \right|}^{2}}=z.\bar{z}.
- \left| z \right|\ge 0,\ \forall z\in \mathbb{C}.
- \left| z \right|=0\Leftrightarrow z=0.
- \left| z.z' \right|=\left| z \right|.\left| z' \right|.
- \left| \frac{z}{z'} \right|=\frac{\left| z \right|}{\left| z' \right|}.
- \left| \left| z \right|-\left| z' \right| \right|\le \left| z\pm z' \right| \le \left| z \right|+\left| z' \right|.
8. Chia hai số phức
Số phức nghịch đảo của z khác 0 là số {{z}^{-1}}=\frac{1}{{{\left| z \right|}^{2}}}\bar{z}.
Phép chia hai số phức z' và z\ne 0 là \frac{z'}{z}=z'{{z}^{-1}}=\frac{z'.\bar{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}}=\frac{z'.\bar{z}}{z.\bar{z}}.
9. Lũy thừa đơn vị ảo i
Ta có: i^0=1, i^{1}=i, i^{2}=-1, và i^{3}=i^{2}.i=-i,…
, bằng quy nạp ta được:
i^{4n}=1, i^{4n+1}=i, i^{4n+2}=-1, và i^{4n+3}=-i ,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.
Do đó: {{i}^{n}}\in \left\{ -1;1;-i;i \right\}, \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.
10. Phương trình bậc hai với hệ số thực
a. Căn bậc hai của số thực âm
Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ đẳng thức {{i}^{2}}=-1, ta nói i là một căn bậc hai của -1; -i cũng là một căn bậc hai của -1, vì {{\left( -i \right)}^{2}}=-1. Từ đó, ta xác định được căn bậc hai của các số thực âm, chẳng hạn:
Căn bậc hai của -2 là \pm i\sqrt{2}, vì {{\left( \pm i\sqrt{2} \right)}^{2}}=-2
.
Căn bậc hai của -3 là \pm i\sqrt{3}, vì {{\left( \pm i\sqrt{3} \right)}^{2}}=-3
.
Căn bậc hai của -4 là \pm 2i, vì {{\left( \pm 2i \right)}^{2}}=-4
.
Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là \pm i\sqrt{\left| a \right|}
.
b. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai a{{x}^{2}}+bx+c=0 với a,\text{ }b,\text{ }c\in \mathbb{R} và a\ne 0.
Xét biệt số \Delta ={{b}^{2}}-4ac của phương trình. Ta thấy:
● Khi \Delta =0, phương trình có một nghiệm thực x=-\frac{b}{2a};
● Khi \Delta >0, có hai căn bậc hai (thực) của \Delta là \pm \sqrt{\Delta } và phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác định bởi công thức {{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{\vartriangle }}{2a};
● Khi \Delta <0 phương trình không có nghiệm thực vì không tồn tại căn bậc hai thực của \Delta . Tuy nhiên, trong trường hợp \Delta <0, nếu xét trong tập hợp số phức, ta vẫn có hai căn bậc hai thuần ảo của \Delta là \pm i\sqrt{\left| \Delta \right|}. Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức {{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm i\sqrt{\left| \Delta \right|}}{2a}.
(Sưu tầm)
Đăng nhận xét